Hi an alle!
Sollte eigentlich ein einfaches Beispiel sein, aber ich verstehs irgendwie nicht.
f(x) = c (1-x)^2 für 0 < x <= 1
f(x) = 0 für sonst
Gefragt ist für welches c f(x) eine Dichtefunktion einer Zufallsvariable ist.
In meinen Unterlagen steht nur das die Verteilungsfunktion F(x) sich als Integral über f darstellen lässt, aber dieser Zusammenhang nutz mir ja nichts.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp in die richtige Richtung geben, anscheinend fehlt mir eine wichtige Erkenntnis.
Lg,
Martina
Dichtefunktion
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FJRaabe
- Beiträge: 4
- Registriert: 17.11.2007, 22:34
Hallo Martina,
nutzt doch was:
da die Verteilungsfunktion F(x) gegen 1 konvergieren muss (bei x gegen Unendlich) muss das Integral über die Dichtefunktion den Wert 1 haben.
Also die Dichte integrieren, Integral zwischen 0 und 1 abhängig von c berechnen, nach c auflösen und c = 3 erhalten.
MfG
F-J.Raabe
nutzt doch was:
da die Verteilungsfunktion F(x) gegen 1 konvergieren muss (bei x gegen Unendlich) muss das Integral über die Dichtefunktion den Wert 1 haben.
Also die Dichte integrieren, Integral zwischen 0 und 1 abhängig von c berechnen, nach c auflösen und c = 3 erhalten.
MfG
F-J.Raabe
-
FJRaabe
- Beiträge: 4
- Registriert: 17.11.2007, 22:34
Hallo Martina,
je nach Statistik-Lehrbuch steht dort auch direkt für die Dichtefunktion, dass das Integral = 1 sein muss, dann bräuchte man die Begründung durch die Verteilungsfunktion nicht. Ich habe nur deshalb darauf verwiesen, weil der Zusammenhang im Ursprungsposting stand.
Das mit dem x gegen Unendlich sagt man verallgemeinert, damit die Aussage auch für Zufallsvariablen mit beliebig großen Werten gilt. Im Beispiel hier ist die Verteilung ja auf das Intervall 0 bis 1 beschränkt, da muss die Verteilungsfunktion F(x) bereits bei x=1 den Wert 1 haben (den er dann für x gegen Unendlich beibehält.)
Die Verteilungsfunktion soll ja für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angeben, dass eine Zufallsvariable <= x ist. Falls nun x der größtmögliche Wert der Zufallsvariablen ist, ist die Bedingung immer erfüllt, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1.
Beim Würfel ist die Verteilungsfunktion eine Treppe, da wird es leichter sichtbar:
F(x) = 0 für x < 1
F(x) = 1/6 für 1<= x < 2
F(x) = 2/6 für 2<= x < 3
F(x) = 3/6 für 3<= x < 4
F(x) = 4/6 für 4<= x < 5
F(x) = 5/6 für 5<= x < 6
F(x) = 6/6 = 1 für alle x >= 6 (bis Unendlich)
MfG
F-J.Raabe
je nach Statistik-Lehrbuch steht dort auch direkt für die Dichtefunktion, dass das Integral = 1 sein muss, dann bräuchte man die Begründung durch die Verteilungsfunktion nicht. Ich habe nur deshalb darauf verwiesen, weil der Zusammenhang im Ursprungsposting stand.
Das mit dem x gegen Unendlich sagt man verallgemeinert, damit die Aussage auch für Zufallsvariablen mit beliebig großen Werten gilt. Im Beispiel hier ist die Verteilung ja auf das Intervall 0 bis 1 beschränkt, da muss die Verteilungsfunktion F(x) bereits bei x=1 den Wert 1 haben (den er dann für x gegen Unendlich beibehält.)
Die Verteilungsfunktion soll ja für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angeben, dass eine Zufallsvariable <= x ist. Falls nun x der größtmögliche Wert der Zufallsvariablen ist, ist die Bedingung immer erfüllt, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1.
Beim Würfel ist die Verteilungsfunktion eine Treppe, da wird es leichter sichtbar:
F(x) = 0 für x < 1
F(x) = 1/6 für 1<= x < 2
F(x) = 2/6 für 2<= x < 3
F(x) = 3/6 für 3<= x < 4
F(x) = 4/6 für 4<= x < 5
F(x) = 5/6 für 5<= x < 6
F(x) = 6/6 = 1 für alle x >= 6 (bis Unendlich)
MfG
F-J.Raabe
